UNIDAD # 2: DERIVACION - INCREMENTOS
2.1 INTRODUCCION
Cuando surgen cuestiones concernientes a la razón entre dos cantidades variables, entramos en los dominios del Cálculo Diferencial. Son por tanto objeto de estudio del cálculo diferencial temas como la velocidad (razón entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla) de una partícula en un momento determinado, la pendiente (razón entre la diferencia de las ordenadas y las abscisas de dos puntos en el plano cartesiano) de la recta tangente a una gráfica en un punto dado de ésta, etc.
2.2 INCREMENTOS
INCREMENTO:
Cuando una cantidad variable pasa de un valor inicial a otro valor, se dice que ha tenido un incremento. Para calcular este incremento basta con hallar la diferencia entre el valor final y el inicial. Para denotar esta diferencia se utiliza el símbolo ∆x, que se lee "delta x". El incremento puede ser positivo o negativo, dependiendo de si la variable aumenta o disminuye al pasar de un valor a otro.
RAZÓN DE CAMBIO:
El concepto de razón de cambio se refiere a la medida en la cual una variable se modifica con relación a otra. Se trata de la magnitud que compara dos variables a partir de sus unidades de cambio. En caso de que las variables no estén relacionadas, tendrán una razón de cambio igual a cero.
En general, en una relación funcional y=f(x), la razón de cambio de la variable dependiente y respecto a la independiente x se calcula mediante un proceso de límite --de la razón [f(x+t)−f(x)]/t, denominada cociente diferencial.
EJEMPLO:
El incremento de una variable que pasa de un valor numérico a otro es la diferencia que se obtiene restando el valor inicial del valor final. un incremento de X se representa por el símbolo ~X, que se lee "delta X". El estudiante no debe leer este símbolo, delta veces x, Es evidente que el incremento puede ser positivo o negativo, según que la variable aumente o disminuya al cambiar de valor. Asimismo
La derivada es uno de los conceptos de significado dialéctico en matemáticas. La derivada, en el caso de una función real de una variable real, es el resultado de un límite y representa, geométricamente, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. En la Física, la derivada se puede entender como la velocidad instantánea. Se puede considerar la derivada como la razón de variación de una masa poblacional respecto de la variación del tiempo.
Se considera una secante que pasa por un punto fijo de una curva y pasa por otro punto de la misma curva ( las abscisas están en un intervalo abierto del punto fijo). Consideremos la infinidad de secantes que pasan por el punto fijo y el otro punto de la secante se aproxima a él; la recta secante, en el límite si existe, se convierte en recta tangente a la curva en el punto fijo. Hay un salto cualitativo ( cambio dialéctico) de recta secante a recta tangente.
El concepto de derivada es muy fácil de comprender. Dada una función y = f(x), la derivada mide la variación de y, cuando hay una pequeña variación de x.
La definición de la derivada de la función y=f(x), es:
un símbolo y no una fracción. Esta notación de la derivada, se llama notación de Leibniz.
El símbolo f´(x), para las derivadas, fue introducido por Lagrange en 1797 en Théorie des fonctions analytiques.
Fórmulas de derivación:
2.6 FUNCIONES DERIVADAS
Hasta aquí nos hemos referido a la derivada de una función y=f(x) en un punto x = a de su dominio; el resultado es un número real, por tratarse de un valor límite
Consideremos la función y = 50t-5t2 que representaba la posición vertical de una bola lanzada desde el suelo hacia arriba en función del tiempo. El dominio de definición es el intervalo [0,10] ya que no tiene sentido hablar de posiciones por debajo del nivel del suelo; el instante inicial es t=0 segundos (cuando es lanzada) y el final es t=10 segundos (cuando llega al suelo de caída).
Podemos observar que en cada instante t la bola tiene asociada una variación instantánea (su velocidad) que es la derivada f '(t)
Existe una aplicación entre la variable t perteneciente a [0,10] y f '(t). Esta aplicación es una nueva función que convenimos en escribir y' = f '(t) y llamamos función derivada de y = f(t).
El siguiente es un cuadro de algunos valores de esta función:
1. Se atribuye una f(x) rx+ Δx y se calcula el numero valor de f(y)+Δ y
2. Se resta el valor dado de la función del nuevo valor y se obtiene Δy (incremento de la función)
3. Se divide Δy por Δx (incremento de la variable independiente)
4. Se calcula el limite de este cociente cuando x tiende a 0. El limite hallado es la derivación buscada, la operación de la derivada de una función se llama derivación.
EJEMPLO:
2.8 PROBLEMAS (CALCULAR LAS DERIVADAS PLANTADAS USANDO LA REGLA GENERAL PARA LA DERIVACION)
2.9 INTERPRETACION GEOMTRICA DE LA DERIVADA
Geométricamente, la derivada de una función
La recta dibujada forma un cierto ángulo que llamamos
Evidentemente, este ángulo estará relacionado con el pendiente de la recta, que hemos dicho que era el valor de la derivada en el punto de tangencia.
Por lo tanto uno puede concluir
