UNIDAD #4: APLICACIONES DE LA DERIVADA - DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCION

4.1 DIRECCION DE UNA CURVA

Sea la función y=f(x)

Se dice que la derivada de una función con respecto a una variable independiente ubicado en un punto cualquiera con coordenadas $({x}_{0}, {y}_{0})$ se obtiene la recta tangente.

$\displaystyle \frac{dy}{dx}{|}_{P({x}_{0},{y}_{0})} = {m}_{tan} = \tan{\alpha}$

La función tendrá una dirección bajo ese punto $P({x}_{0},{y}_{0})$ y es:

$\displaystyle \alpha = \arctan{ \left[ \frac{dy}{dx}{|}_{P({x}_{0},{y}_{0})} \right]}$

Donde $\alpha$ representa la dirección de la recta tangente.

LA GRAFICA:

Definición: dirección (de una curva)

4.2 (PROBLEMAS: HALLAR LAS ECUACIONES DE LA TANGENTE)

EJERCICIO 1:

Determinar las pendientes de las tangentes de la parábola y=x^2 en el vértice y en el punto de abscisa x=1/2

f'(x)= mr = (x^2) = 2x

luego: f'(0) = 2(0) = 0 => mr = 0 (en el vertice)

f' (1/2) = 2(1/2)= 1 => mr = 1 (en x=1/2)

EJERCICIO 2:

Determine la ecuación de la recta normal y tangente a la grafica de la función f(x) = x^3, para x=2

RESOLUCION:

Calculemos las coordenadas del punto:

(2; f(2)) = (2;8). también calculemos la pendiente de la recta tangente en (2;8) en base a la derivada:

4.3 FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

FUNCION CRECIENTE: A medida que aumenta el valor de x, aumenta el valor de y. La definición es la siguiente: una función es creciente en un intervalo si se cumple que:

Y en el modo grafico queda:

FUNCION DECRECIENTE: A medida que aumenta el valor de x, disminuye el valor de y. La definición es la siguiente: una función es decreciente en un intervalo si se cumple que:

y queda así en el grafico:

4.4 VALORES MAXIMO, MINIMOS DE UNA FUNCION, DEFINICION METODO PARA CALCULAR LOS MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION.

Los máximos y mínimos de una función son los valores más grandes o más pequeños de ésta, ya sea en una región o en todo el dominio.

Los máximos y mínimos en una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma la función, ya sea en una región (extremos relativos) o en todo su dominio (extremos absolutos).

MAXIMOS Y MINIMOS ABSOLUTOS.

Los extremos absolutos son los valores de una función f mas grandes (máximos) o mas pequeños (mínimos) de todo el dominio.

* El máximo absoluto de la función f es el valor mas grande en todo el dominio.

* El mínimo absoluto de la función f es el valor mas pequeño en todo el dominio.

Los extremos absolutos también reciben el nombre de extremos globales.

MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS.

Los extremos relativos de una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) de una región del dominio.

Los extremos relativos también son conocidos como extremos locales.

La función f tiene en M un máximo relativo si f(M) es mayor que sus valores próximos a izquierda y derecha.

En términos de sus derivadas, sean f y f ’ derivables en M. Entonces M es máximo relativo de f si:

También se puede decir que M es un máximo relativo en su entorno si a la izquierda la función es creciente y a la derecha decreciente.

La función f tiene en m un mínimo relativo si f(m) es menor que sus valores próximos a izquierda y derecha.

En términos de sus derivadas, sean f y f ’ derivables en m. Entonces m es mínimo relativo de f si:

También se puede decir que m es un mínimo relativo en su entorno si a la izquierda la función es decreciente y a la derecha creciente.

4.5 PROBLEMAS: (CALCULAR LOS MAXIMOS Y MINIMOS DE CADA UNA DE LAS FUNCIONES)

Ejemplo 1: Encuentre los valores máximos o mínimos de la función y = x²-4x+7

Solución:

Por cuestiones académicas vamos a graficar la función, solamente para que observes el resultado y lo que vamos a obtener aplicando los máximos y mínimos de la función.

PASO 1: Vamos a derivar la función e igualamos a cero, es decir.

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left( {{x}^{2}}-4x+7 \right)=0$

como resultado

$\displaystyle 2x-4=0$

PASO 2: Vamos a despejar a “x” , y el valor que nos de es al que llamaremos valor crítico

$\displaystyle 2x=4$

$\displaystyle x=\frac{4}{2}=2$

Entonces podemos decir que: x = 2

Sabemos que hay un máximo o un mínimo pero no sabemos donde, (aunque por la gráfica de arriba si sabemos donde está). Pero analíticamente aún lo desconocemos.

PASO 3: Vamos asignar un valor menor al valor crítico y lo vamos a sustituir en la derivada:

> Eligiendo a x = 1 Porque es un valor menor al valor crítico.

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=2x-4=2(1)-4=2-4=-2$

Ok! Ahora haremos lo mismo, pero asignando un valor mayor.

> Eligiendo a x = 3 porque es un valor mayor al valor crítico.

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=2x-4=2(3)-4=6-4=+2$

Como la derivada cambió de signo negativo a signo positivo significa que existe un mínimo en el valor crítico que se analizó, es decir, existe un mínimo cuando x = 2

Comprobación:

Para comprobar, como ya sabemos que existe un mínimo en x = 2 , entonces vamos a sustituir a x = 2 en la función original, la que derivamos. De esta forma:

$\displaystyle y={{x}^{2}}-4x+7={{(2)}^{2}}-4(2)+7=4-8+7=3$

y = 3

Esto quiere decir que nuestro mínimo se encuentra en las coordenadas m(2,3) , si vemos la gráfica eso es cierto

EJEMPLO 2: Encuentre los valores máximos o mínimos de la función y = x³- 6x² + 9x – 3

Muchas veces los máximos y mínimos funcionan como herramientas para graficar una función de forma rápida, pero en este blog para términos académicos colocamos primero las gráficas, y después analizamos de forma analítica, con la intención de que el alumno aprenda los conceptos de forma entendible.

Entonces, graficamos la función:

PASO 1: Derivamos la función e igualamos a cero:

$\displaystyle \frac{d}{dx}({{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x-3)=0$

como resultado de la derivada:

$\displaystyle 3{{x}^{2}}-12x+9=0$

PASO 2: Vamos a obtener los valores críticos porque la ecuación que nos dio de la derivada es una función cuadrática, procedemos de manera algebraica a encontrar esos valores.

Si dividimos nuestra ecuación sobre 3, esto nos daría:

$\displaystyle \frac{3{{x}^{2}}-12x+9}{3}=\frac{0}{3}$

$\displaystyle {{x}^{2}}-4x+3=0$

Esto es mas fácil de factorizar.

$\displaystyle (x-1)(x-3)=0$

por lo tanto: x= 1 y x=3 son valores críticos.

PASO 3: vamos asignar un valor menor al valor critico y lo vamos a sustituir en la derivada.

Analizando el primer valor crítico x = 1

Valor menor –> x = 0

$\displaystyle 3{{x}^{2}}-12x+9=3{{(0)}^{2}}-12(0)+9=+9$

Valor mayor –> x = 2

$\displaystyle 3{{x}^{2}}-12x+9=3{{(2)}^{2}}-12(2)+9=12-24+9=-3$

Para el valor critico x= 1, observamos un cambio en la derivada de positivo a negativo, eso indica que existe un máximo cuando x =1

Analizando el primer valor crítico x = 3

Valor menor: –> x = 2

Como ya sabemos el resultado para x = 2, porque lo hicimos en el paso anterior, colocamos el resultado:

$\displaystyle 3{{x}^{2}}-12x+9=3{{(2)}^{2}}-12(2)+9=12-24+9=-3$

Valor mayor –> x = 4

$\displaystyle 3{{x}^{2}}-12x+9=3{{(4)}^{2}}-12(4)+9=48-48+9=9$

Para el valor x=3, observamos un cambio en la derivada de negativo a positivo, eso indica que existe un mínimo cuando x = 3

Comprobación:

Para comprobar, como ya sabemos que existe un máximo en x = 1 , y un mínimo en x = 3, entonces vamos a sustituir a x = 1 y x = 3 en la función original. De esta forma:

Comprobando con x = 1

$\displaystyle y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x-3={{(1)}^{3}}-6{{(1)}^{2}}+9(1)-3=1$

y = 1

Esto quiere decir que existe un máximo en las coordenadas m (1,1).

Comprobando con x = 3

$\displaystyle y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x-3={{(3)}^{3}}-6{{(3)}^{2}}+9(3)-3=27-54+27-3=-3$

y = 3

Esto quiere decir que existe un mínimo en las coordenadas m (3, -3)

4.6 DEFINICION DE LAS DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCION.

Las derivadas sucesivas son las derivadas de una función después de la segunda derivada. El proceso para calcular las derivadas sucesivas es el siguiente: se tiene una función f, la cual podemos derivar y obtener así la función derivada f’. A dicha derivada de f podemos volver a derivarla, obteniendo (f’)’.

Esta nueva función se denomina segunda derivada; todas las derivadas calculadas a partir de la segunda son sucesivas; estas, llamadas también de orden superior, poseen grandes aplicaciones, como dar información sobre el trazo de la gráfica de una función, la prueba de la segunda derivada para extremos relativos y la determinación de series infinitas.

Definición

Usando la notación de Leibniz, tenemos que la derivada de una función “y” con respecto a “x” es dy/dx. Para expresar a la segunda derivada de “y” usando la notación de Leibniz, escribimos de la siguiente manera:

En general, podemos expresar las derivadas sucesivas como sigue con la notación de Leibniz, donde n representa al orden de la derivada.

Otras notaciones usadas son las siguientes:

4.7 OBTENCION DE LAS DERIVADAS SUCESIVAS EN FUNCIONES IMPLICITAS.

Los pasos para la diferenciación de una función implícita se indican a continuación:

1. Diferencie la ecuación implícita con respecto a x tal como lo hace para una función explícita. Si la ecuación contiene términos de y o cualquier otra variable elevada a la potencia de y, entonces primero multiplique la ecuación con dy / dx.

2. Mueva los términos con dy / dx como sus coeficientes a un lado de la ecuación y el resto de los términos hacia el otro lado de la ecuación.

3. Ahora, extraiga el valor de dy / dx y resolverlo.

El método explicado más arriba es el método de diferenciación implícita para resolver una función implícita. Hay una forma más de resolver una función implícita, llamada diferenciación directa.

Bajo el método explicado anteriormente, el primer paso es escoger la variable que se considerará como variable dependiente y la variable que se considerará como variable independiente.

Suponga que y es la variable dependiente para la función dada, luego se resuelve para y con respecto a x, que es la variable independiente de la función.

Bajo el método de diferenciación directa, sólo resuelva para la variable dependiente al mover los términos contenidos en la variable dependiente hacia un lado y la variable independiente hacia el otro lado y realizando la diferenciación con respecto a la variable independiente.

Bajo el método de diferenciación directa, generalmente la variable dependiente se da de manera explícita y no de forma escogida.

Considere un ejemplo de una ecuación resuelta mediante el método de diferenciación directa,

4X^2 + 5X – y + 2 = 0

Moviendo los términos que contiene y hacia un lado de la ecuación, que es la variable dependiente de la ecuación,

4X2 + 5X + 2 = y Ahora diferenciando la ecuación obtenemos,

dy / dx = 8x + 5, que es la respuesta necesaria.

4.8 PROBLEMAS (OBTENER LOS VALORES DE Y' a Y'')

EJERCICIO 1:

EJERCICIO 2:

4.9 SENTIDO DE LA CONCAVIDAD DE UNA CURVA

Aprenderás la relación del valor de la segunda derivada de una función con la concavidad de su gráfica en un punto.

La concavidad es un concepto que nos ayudará a describir el comportamiento de la primera derivada de una función. Dado que la derivada nos da información sobre la función, la segunda derivada nos debe dar información sobre la primera derivada. Esto nos sugiere que la segunda derivada es útil para conocer la concavidad de una curva.

Se dice que la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo A, $(A\subseteq D_{f})$ , si es creciente sobre A. Si es decreciente sobre A entonces se dice que la gráfica de f es cóncava hacia abajo.

Note que es la función derivada la que debe ser creciente o decreciente en el intervalo A.

4.10 PUNTOS DE INFLEXIÓN

La derivada permite estudiar existencia de los puntos de inflexión.

Un punto de inflexión de una función es el lugar de su dominio en donde cambia de curvatura, donde cambia de cóncavo a convexo o viceversa.

En un punto de inflexión, la tangente atraviesa la gráfica de la función. Si además la primera derivada es nula, f’(a) = 0, es un punto de inflexión de tangente horizontal.

Para que una función f(x) tenga un punto de inflexión en el punto (a, f(a)) es condición necesaria que la segunda derivada, si esta existe, sea nula en dicho punto (f’’(a) = 0).

Esta condición es necesaria, pero no suficiente. Puede que sea f’’(a) = 0 y no haber punto de inflexión en a. Pero, por el contrario, si fuese f’’(a) ≠ 0, podemos afirmar que no hay un punto de inflexión en f(a).

Este sería el caso de la función f(x) = 2x⁴. En ella, la segunda derivada f’’(x) = 24x². Para x = 0, f’’(0) = 0 y, sin embargo, el punto (0, f(0)), es decir, el punto (0, 0) no es un punto de inflexión, tal y como se ve en esta imagen y se desarrollará en el ejercicio 2:

Tenemos dos criterios para averiguar si un punto x = a de una función, en donde se verifique que f’’(a) = 0, se trata de un punto de inflexión:

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

Si f’’(a) = 0, estudiaremos el signo de la segunda derivada en el entorno de x = a.

Si los valores de la segunda derivada f’’(x), para x = a, son positivos a la izquierda y negativos a la derecha, existe un punto de inflexión convexo-cóncavo.

Por otro lado, si los valores de la segunda derivada f’’(x), para x = a, son negativos a la izquierda y positivos a la derecha, existe un punto de inflexión cóncavo-convexo.

Por el contrario, si los valores de la segunda derivada f’’(x), para x = a, tienen el mismo signo a la izquierda y a la derecha, no hay un punto de inflexión en f(a).

CRITERIO DE LA TERCERA DERIVADA

Si se verifica que en un punto de una función, su segunda derivada es nula (f’’(a) = 0) y existe la tercera derivada en ese punto no nula (f’’’(a) ≠ 0), entonces existe el punto de inflexión en f(a).

En el caso de que la tercera derivada siga siendo nula en ese punto, recurriremos a derivadas sucesivas, hasta llegar a una derivada de orden n en que fⁿ⁾(a) ≠ 0.

Entonces, si n es impar, habrá un punto de inflexión en (a, f(a)), pero si n fuese par, f(a) no sería un punto de inflexión, sería un máximo o mínimo.

4.11PROBLEMAS (HALLAR LOS PUNTOS DE INFLEXION)

EJERCICIO 1

Encontrar, si los hubiere, los puntos de inflexión de la función:

Hallaremos la derivada segunda:

Igualaremos la función a cero. Simplificaremos y hallaremos las raíces de esa función cuadrática:

Empleando el criterio de la segunda derivada arriba descrito, estudiaremos el signo que toma la segunda derivada en puntos del entorno de las raíces halladas. Empezamos por la primera raíz:

Hay cambio de signo: positivo a la izquierda y negativo a la derecha. Existe un punto de inflexión convexo-cóncavo en el punto:

Ahora estudiamos el entorno de la segunda raíz:

Hay cambio de signo: negativo a la izquierda y positivo a la derecha. Existe un punto de inflexión cóncavo-convexo en el punto:

Se deduce que la función tiene dos puntos de inflexión. Como se ve en la figura:

EJERCICIO 2:

Encontrar, si los hubiere, los puntos de inflexión de la función:

Hallaremos la derivada segunda:

Igualaremos la función a cero. La función tiene una sola raíz y esta es nula:

Como veremos que la tercera derivada sigue siendo nula para x = 0, seguiremos derivando hasta encontrar una derivada de orden superior que no se anule:

Esta última derivada, la cuarta, es par, por lo que la función no tiene puntos de inflexión. En x = 0, como el valor de la derivada cuarta es mayor que cero, será un mínimo. Se ve en la figura:

4.12 METODO PARA LA CONSTRUCCION DE CURVAS DADAS POR SU ECUACION

Se presenta una metodología de construcción de curvas de calidad de estación basada en datos procedentes del análisis de tronco de árboles dominantes. Este procedimiento consiste en el empleo de una estructura de datos transformada que incluye todos los posibles intervalos de crecimiento y el uso de ecuaciones de crecimiento expresadas en diferencias algebraicas. El objetivo es obtener familias de curvas polimórficas, invariantes en la edad de referencia y que permitan despejar de la ecuación ajustada el índice de sitio. Debido a la estructura longitudinal de los datos empleados, se corrige la dependencia de los mismos considerando la estructura del error como un proceso autorregresivo. Por último, se presenta un método para seleccionar la edad de referencia más adecuada y se incide sobre la importancia de las comparaciones gráficas en la elección del modelo definitivo.

4.13 PROBLEMAS (CONSTRUIR LAS SIGUIENTES CURVAS Y HALLAR TAMBIEN LAS ECUACIONES DE LA TANGENTE)

EJERCICIO 1:

Muestre de manera gráfica la diferencia entre las curvas indicadas de las siguientes ecuaciones paramétricas.

y=x^2, x=-√t, y=t, t≤0

Despejando (t) tenemos que:

t=-y

Ahora sustituyendo en la otra ecuación el valor de (t) para eliminar el parámetro:

x=-(-√y)

De la misma manera despejando a (y):

y=x^2

Y obtenemos nuestra ecuación rectangular ahora ya la podemos graficar, quedando de la siguiente manera:

EJERICIO 2:
Halla las rectas tangentes a la circunferencia: x^2 + y^2 + 2x + 2y − 6 = 0 en x0 = 1

SOLUCION:

* Ordenadas en x0 = 1:

1 + y^2 + 2 + 2y − 6 = 0 → y^2 + 2y − 3 = 0

*Pendiente de las rectas tangentes:

Derivamos: 2x + 2y y' + 2 + 2y' = 0

Despejamos y':

• Ecuaciones de las rectas tangentes:

En el punto (1, 1) → y = 1 − (x − 1) → y = −x + 2

En el punto (1, −3) → y = −3 + (x − 1) → y = x − 4

4.14 ACELERACION EN UN MOVIMIENTO RECTILINEO

MOVIMIENTO RECTILINEO

El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.), también conocido como movimiento rectilíneo uniformemente variado (m.r.u.v), es un movimiento rectilíneo con aceleración constante, y distinta de cero. Se denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya trayectoria es una línea recta.

En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la posición del móvil x en el instante t. Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen.

Posición

La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una función x=f(t).

Desplazamiento

Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra en posición x, más tarde, en el instante t' el móvil se encontrará en la posición x'. Decimos que móvil se ha desplazado Dx=x'-x en el intervalo de tiempo Dt=t'-t, medido desde el instante t al instante t'.

Velocidad

La velocidad media entre los instantes t y t' está definida por

Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer el intervalo de tiempo Dt tan pequeño como sea posible, en el límite cuando Dt tiende a cero.

Pero dicho límite, es la definición de derivada de x con respecto del tiempo t.

Para comprender mejor el concepto de velocidad media, resolvemos el siguiente ejercicio

EJEMPLO.

La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta viene dada por la expresión. a=4-t² m/s². Sabiendo que en el instante t₀=3 s, la velocidad del móvil vale v₀=2 m/s. Determinar la expresión de la velocidad del móvil en cualquier instante

Resumiendo, las fórmulas empleadas para resolver problemas de movimiento rectilíneo son