UNIDAD #3: REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS
3.1 IMPORTANCIA DE LA REGLA GENERAL
Las reglas de derivación son los métodos que se emplean para el cálculo de la derivada de una función. Dadas dos funciones u (x) y v (x) continuas y derivables, la derivada de la función suma (o diferencia) de las dos es igual a la suma (o diferencia) de sus derivadas.
Es fundamental puesto que se deduce directamente de la definición de derivada y es muy importante que el lector se familiarice completamente con ella, sin embargo el procedimiento de aplicar la regla general, a fin de facilitar la tarea, reglas especiales para derivar ciertas formas normales que se presentan con frecuencia.
Es una de las reglas de derivación más importantes. Cuando una derivada es igual a cero, significa que NO varían en función de una variable. Dicha función cuando se comprueba en cualquiera de sus puntos, no varía, por lo que siempre es igual a 0.
Por lo tanto tenemos que la derivada de una constante es igual a cero. Por ejemplo:
dx/dx=1 la derivada de una variable con respecto a si misma es la unidad
ejemplo: y=x
x y
1 1
2 2
3 3
4 4
3.5 DERIVADA DE UNA SUMA
La derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas funciones. Esta regla se extiende a cualquier número de sumandos, ya sean positivos o negativos.
Ejemplo
La derivada de la suma será la suma de las derivadas:
3.6 DERIVADA DEL PRODUCTO DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCION
La derivada de un constante por una función es:
El segundo factor por la derivada del primero
(f*g)'(x) = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)
“La derivada de un producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera función por la segunda sin derivar, más la primera función sin derivar por la derivada de la segunda”
EJEMPLO:
Si se dividen ambos miembros de la formula V por uv, se obtiene:
podemos escribir
3.9 DERIVADA DE LA POTENCIA DE UNA FUNCION, SIENDO UN EXPONENTE CONSTANTE
Si en el resultado obtenido en el tema anterior, cada uno de los n factores es igual a v, se tiene
3.10 derivada de una cociente
Sea Y=u/v
Siguiendo la regla general:
Aplicando, los teoremas sobre los limites.
, en el punto 
.La ecuación de la recta tangente es:
. Utilizando la definición anterior vamos a averiguar la pendiente en 
.SOLUCION
Luego m(1) = -1, por lo que y= -x+b. Para Averiguar b sustituimos el punto (1,-2) como sigue: -2=-(1)+b de donde b= -1.
Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es y= -x-1
La representación grafica de la curva y de la recta tangente es el siguiente:
3.13 DERIVADA DE UNA FUNCION
La derivada de una función f(x), o función derivada de f(x), es aquella función, denotada f'(x), que asocia a cada x la rapidez de cambio de la función original f(x) en ese punto, es decir, su tasa de variación instantánea. las derivadas son herramientas fundamentales en todas las ciencias, incluida la física.
En rojo, la gráfica de la función f(x)=x2. Los puntos azules representan el valor de la derivada de f(x) en cada abscisa considerada. Parece razonable pensar que la ubicación de esos puntos vendrá dada por la recta azul y= 2·x, con lo que podemos decir que la función derivada de f(x) es f'(x)=2·x.
Se llama función derivada de f(x), o simplemente derivada de f, y se denota normalmente como f'(x), al limite:
El conjunto de puntos en que una función es derivable se conoce como dominio de derivabilidad y se cumple que:
La función inversa.- Comenzamos considerando una función y su inversa. Si f (x) es tanto invertible como diferenciable, parece razonable que la inversa de f (x) también sea diferenciable. La figura 3.7_1 muestra la relación entre una función f (x) y su inversa f ⁻¹(x). Mire el punto (a, f ⁻¹(a)) en la gráfica de f ⁻¹(x) que tiene una recta tangente con una pendiente de (f ⁻¹)′(a) = p/q. Este punto corresponde a un punto (f ⁻¹(a), a) en la gráfica de f (x) que tiene una recta tangente con una pendiente de f ′(f ⁻¹(a)) = q/p. Por lo tanto, si f ⁻¹(x) es diferenciable en a, entonces debe ser el caso que
