UNIDAD # 1 VARIABLES, FUNCIONES, CONTIUIDAD O FUNCION

1.1 VARIABLES Y CONSTANTES

Valores constantes: Es un valor fijo. En Álgebra, una constante es un número por sí solo, o algunas veces una letra como a, b o c que representan un número fijo.

Ejemplo:

Valores Variables: Es un valor que ya está "incluido" en una función

Ejemplo:

1.2 VARIABLES INDEPENDIENTES Y DEPENDIENTES.

VARIABLES INDEPENDIENTES: Es aquella cuyo valor no depende del de otra variable. La variable independiente en una función se suele representar por x. La variable independiente se representa en el eje de abscisas.

VARIABLES DEPENDIENTES: Es aquella cuyos valores dependen de los que tomen otra variable. La variable dependiente en una función se suele representar por y. La variable dependiente se representa en el eje ordenadas. La variable y está en función de la variable x, que es la variable independiente.

Ejemplos:

1.3 FUNCIONES

Es una relación en la que a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo un elemento del rango o contra dominio. Dominio: son el conjunto de elementos que hacen posible una función. operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. las trigonométricas, logarítmicas y exponenciales.

Ejemplo:

1.4 NOTACION DE FUNCIONES.

de la función es una manera de escribir funciones que aclara el nombre de la función, de las variables independientes, de las variables dependientes, y de la regla de la transformación.

En el ejemplo a la derecha, f(x) es la variable dependiente, f es el nombre de función, x es la variable independiente, y 3x + 2 es la regla de la transformación.

Ejemplo:

1.5 LA DIVISION POR CERO, EXCLUIDA

El cociente de 2 números a y b es un numero x tal a= bx. evidentemente, con esta definición la división por cero queda excluida. En efecto, si b=0, y recordando que cero tomado cualquier numero de veces como sumando es siempre igual a cero, se ve que x no existe, a menos que a = 0. Si a = 0, entonces x puede ser cualquier numero. Por lo tanto, las expresiones que se presentan en una de las formas.

EJEMPLO:

1.6 PROBLEMAS

EJERCICIO 1:

Por el alquiler de un coche cobran $100$ € diarios más $0.30$ € por kilómetro. Encuentra la ecuación de la recta que relaciona el coste diario con el número de kilómetros y represéntala. Si en un día se ha hecho un total de $300$ km, ¿Qué importe debemos abonar?

La ordenada al origen es 100 y la pendiente es 0.30

La ecuación de la recta es y = 0.3 x + 100

La cantidad a pagar por recorrer 300 km en un día es:

y = 0.3 * 300 + 100 = 190 €

EJERCICIO 2:

La compañía telefónica de Roberto le cobra 10€ mensuales de cuota y 0.05€ por cada minuto de llamada.

Calcular la función que proporciona el coste de la factura mensual de Roberto en función del número de minutos de llamada.

Si Roberto realiza llamadas con un total de x minutos, el coste de estas llamadas sería 0.05⋅x. Además de esto, hay que sumar 10€ de la cuota.

Por tanto, la función es

1.7 CONTINUIDAD

Definicion: Una función es continua en un punto si existe límite en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.

Existen 2 tipos de continuidad, sea para el lado izquierdo o lado derecho

1.7.1 UNA FUNCION CONTINUA

Una función es continua por la derecha en un punto si existe el límite por la derecha en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto, es decir

1.7.2 UNA FUNCION DISCONTINUA

Una función es continua por la izquierda en un punto si existe el límite por la izquierda en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto, es decir

1.7.3 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS

1.- Unidad del límite.

Si una función es continua en un punto, entonces tiene límite en ese punto.

2.- Teorema del signo.

Si una función es continua en un punto , entonces existe un entorno simétrico de x=a en el que los valores que toma f tienen el mismo signo de f(a).

3.- Anulación de la función.

Si una función es continua en x=a y toma valores positivos y negativos en cualquier entorno simétrico del punto x=a, la función se anula en dicho punto.

4.- Acotación de la función.

Si una función es continua en el punto x=a, entonces está acotada en ese punto, es decir, existe un entorno simétrico de x=a en el que la función está acotada.

5.- Continuidad y operaciones.

Las operaciones con funciones continuas en x=a da como resultado otra función continua en un entorno simétrico de x=a, siempre que tenga sentido la operación.

1.7.4 LA GRAFICA DE UNA FUNCION CONTINUA

Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo. Diríamos que es continua si puede dibujarse sin separar el lápiz de la hoja de papel.

Se dice que la función es discontinua si no es continua, es decir, presenta algún punto en el que existe un salto y la gráfica se rompe.

La función continua tienes 3 tipos de graficas.

Una función f es continua en un punto x = a si cumple las tres condiciones siguientes:

La continuidad lateral de una función f estudia si ésta es continua en los laterales de un punto x=a. Por lo tanto, se estudia la continuidad lateral a izquierda o derecha.

Una función es continua en un intervalo [a,b] si es continua en todos sus puntos. En caso contrario, se dice que la función es discontinua en [a,b].

1.7.5 PROBLEMAS

EJERCICIO 1:

Como es una función racional, el dominio es el conjunto de los reales excepto donde se anula el denominador. Para hallar estos puntos, igualamos el denominador a 0 y resolvemos la ecuación:

Por tanto, el dominio es el conjunto de los reales excepto en los puntos -3 y 3. La función es continua en todo su dominio.

1.8 LIMITE DE UNA VARIABLE

1.9 LIMITE DE UNA FUNCION

El límite de una función es un concepto fundamental del análisis matemático aplicado a las funciones. En particular, el concepto aplica en análisis real al estudio de límites, continuidad y derivabilidad de las funciones reales.

1.10 TEOREMAS SOBRE LIMITES

Teorema de límite1:

Si k es una constante y a un número cualquiera, entonces

Teorema de límite2:

Para cualquier número dado a,

Teorema de límite3:

Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces

Teorema de límite4:

Teorema de límite5:

Teorema de límite6:

Si f es un polinomio y a es un número real, entonces

Teorema de límite7:

Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces

Teorema de límite8:

1.11 FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS

La función es continua si su grafica puede dibujarse de un solo trazo, es decir, si no presenta puntos de discontinuidad.

La función es discontinua si tiene en los puntos una pequeña variación de la variable independiente produce un salto en los valores de la variable dependiente. A estos puntos se les denomina puntos de discontinuidad.

Existen 2 tipos de graficas de funciones discontinuas

1.12 INFINITOS

Se dice que existe límite infinito cuando la función f(x) llega a valores que crecen continuamente, es decir que se puede hacer la función tan grande como queramos. Se dice que f(x) diverge a infinito. Para ello, el valor al que tienda la variable independiente x puede ser tanto a un número finito, como tender al infinito

GRAFICA:

1.13 INFINITÉSIMOS

Lo infinitesimal o infinitésimo se puede definir como una cantidad infinitamente pequeña, y originalmente fundamentó ciertos razonamientos del cálculo infinitesimal

f(x) es un infinitésimo en a si limx->af(x) = 0 (a puede ser inf)

EJEMPLO:

1.14 TEOREMAS RELATIVOS A INFINITESIMOS Y LIMITES

TEOREMA

Dos infinitésimos son equivalentes <=> el orden de la diferencia es mayor que el orden de ambos.

H) f(x)_x->a --->0, g(x)_x->a--->0, f(x) equivalente g(x) cuando _x->a
T) orden (f(x) - g(x)) > orden f(x)
orden (f(x) - g(x)) > orden g(x)

Demostración:

Directo:

                       1      1 pues f(x) equiv g(x)
                     --^--  --^--    x->a
lim ---------- = lim  --- - --- = 0    f(x) - g(x)       f(x)  g(x)
x->a    f(x)     x->a f(x)  f(x) => (por ordenes de infinitésimos) orden (f(x)-g(x)) > orden (f(x))

Análogamente se prueba que orden (f(x)-g(x)) > orden (g(x)).

Recíproco

orden(f(x) - g(x)) > orden (f(x)) => (por ordenes de infinitésimos)

    f(x) - g(x)
lim ---------- = 0
x->a   f(x)
    
      1             (por def. infinitésimos equivalentes)      --^--                          |
     f(x)  g(x)           g(x)     | 
lim  --- - --- = 0 => lim ---- = 1 => f(x) equiv g(x) 
x->a f(x)  f(x)       x->a f(x)       x->a

  TEOREMA

La suma de dos infinitésimos de distinto orden es equivalente al infinitésimo de menor orden.

H) f(x)_x->a --->0, g(x)_x->a--->0 orden (f(x)) < orden (g(x) 

 T) f(x) +g(x) equivalente a f(x) cuando x-<a.

Demostración:
 1      0 pues orden (f(x)) < orden (g(x))
    f(x) + g(x)       f(x)  g(x)
lim ---------- = lim  --- + --- = 1
x->a    f(x)     x->a f(x)  f(x)
GENERALIZACION:
La suma de n infinitésimos es equivalente al infinitésimo de menor orden.
EJEMPLO:  7x⁵ + 4x³ + 2x² equiv 2x² cuan do x->0
TEOREMA
SUSTITUCION DE INFINITESIMOS EQUIVALENTES
H) lim_x->a α(x).f(x) = b (finito o infinito)     α(x)_x->a--> 0     Existe β(x), β(x)_x->a--> 0 / β(x)_x->a equiv α(x) T) lim_x-a β(x).f(x) = b
Demostración:
                pues lim α(x)/β(x) = 1
                                             |   x->a
                        α(x).β(x).f(x)  |         
lim α(x).f(x) = lim ---------------  = lim β(x).f(x) = b
x->a            x->a      β(x)         x->a
  TEOREMA
SUSTITUCION DE INFINITESIMOS EQUIVALENTES
H) lim_x->a f(x)/α(x) = b (finito o infinito)
    α(x)_x->a--> 0
    Existe β(x), β(x)_x->a--> 0 / β(x)_x->a equiv α(x)
T) lim_x-a f(x)/β(x) = b
Demostración:                        pues lim β(x)/α(x) = 1
                                    |  x->a
    f(x)             β(x).f(x)  |     f(x)        
   lim ---- = lim------------  = lim ---- = b
x->a α(x) x->a β(x).α(x)    x->a β(x)
1.15 PROBLEMAS 

EJERCICIO 1:

Al sustituir

x

por 1, obtenemos el resultado 0/2, así que el límite es 0:

EJERCICIO 2:

Por ejemplo, la siguiente función tiende a $8 / 5$ cuando $x$ tiende a $\pm \infty$ :

Más adelante, veremos cómo se calculan estos límites.

La gráfica de la función anterior es: